Una sala a Königsberg, l'ultimo giorno di un congresso sui fondamenti della matematica. Tavola rotonda, discussione generale. Un giovane di ventiquattro anni prende la parola e dice, di passaggio, che ha dimostrato una cosa: nell'aritmetica esistono proposizioni vere che non si possono dimostrare. Quasi nessuno reagisce. Un uomo, alla fine, lo prende da parte per farsi spiegare.
Il giorno dopo, nella stessa città, un altro congresso. Il matematico più autorevole della Germania riceve la cittadinanza onoraria della città in cui è nato e tiene il discorso del suo congedo, e la radio lo trasmette. Chiude così: non esiste alcun problema insolubile. Dobbiamo sapere. Sapremo.
Il ragazzo è Kurt Gödel. L'uomo che lo prende da parte è John von Neumann. L'uomo alla radio è David Hilbert.
Il programma
Dagli anni Venti Hilbert porta avanti un progetto che porta il suo nome. Tutta la matematica va scritta come un sistema formale: un elenco di assiomi, cioè di punti di partenza, e di regole con cui derivare da quelli tutto il resto, in modo così preciso che si possa verificare ogni passaggio senza capire cosa significhi. Il sistema deve essere completo: ogni affermazione vera dev'essere dimostrabile. E deve essere coerente: non deve poter dimostrare una cosa e il suo contrario. La coerenza, infine, va dimostrata con mezzi elementari, che nessuno possa mettere in dubbio.
È il progetto di chiudere la matematica in una scatola che si controlla da sola. Nel 1930 Hilbert ha sessantotto anni, e le parole del discorso di Königsberg — Wir müssen wissen, wir werden wissen — finiranno sulla sua tomba.
La frase
Gödel è nato a Brünn, oggi Brno, il 28 aprile 1906. Studia a Vienna, e nel 1929 discute una tesi di dottorato — stampata l'anno dopo — con un risultato che va nella direzione di Hilbert: la logica di base è completa. Poi, nello stesso 1930, dimostra il contrario per l'aritmetica.
Il metodo è un codice. A ogni simbolo del sistema Gödel assegna un numero. Una formula, che è una sequenza di simboli, diventa un numero più grande. Una dimostrazione, che è una sequenza di formule, un numero ancora più grande. A quel punto la frase “la formula con questo numero è dimostrabile” è un'affermazione sui numeri, e il sistema, che parla di numeri, può parlare di se stesso.
Con quel codice Gödel costruisce una frase che dice: “questa frase non è dimostrabile nel sistema”. Se il sistema riuscisse a dimostrarla, dimostrerebbe una cosa falsa, e allora sarebbe incoerente. Se il sistema è coerente, quindi, non la dimostra. Ma allora quello che la frase dice è vero. Il sistema contiene una verità che non può raggiungere.
Questo è il primo teorema, e le condizioni sono due: che gli assiomi del sistema si possano elencare con una procedura meccanica, e che il sistema sia abbastanza potente da fare l'aritmetica dei numeri interi. Nel 1931 Gödel dimostra la parte più forte del risultato per i sistemi ω-coerenti, una richiesta un po' più severa della semplice coerenza; nel 1936 J. Barkley Rosser cambia la frase in modo che basti la coerenza.
Il secondo teorema viene dal primo: un sistema di quel tipo non può dimostrare da solo la propria coerenza. Per certificarsi, deve uscire da sé.
Il lavoro esce nel 1931 sui Monatshefte für Mathematik und Physik, con un titolo lungo: Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e di sistemi affini.
Il giorno dopo
La cronologia è questa. Il 7 settembre 1930 Gödel lo dice a Königsberg, in un'osservazione durante la discussione. L'8 settembre Hilbert, a Königsberg, dice alla radio che non esistono problemi insolubili. Il 1931 porta la dimostrazione stampata. Secondo l'interpretazione prevalente tra i matematici, il programma di Hilbert come era stato pensato non può essere portato a termine: la scatola non può controllarsi da sola.
Hilbert e Gödel non si sono confrontati quel giorno. La distanza tra le due frasi è di ventiquattro ore e di qualche isolato.
Le macchine
Nel 1936 Alan Turing usa un ragionamento della stessa famiglia per definire cosa può calcolare una macchina, e dimostra che esistono problemi che nessuna macchina può decidere: dato un programma, non esiste un metodo generale per sapere se si fermerà. Il nome con cui lo conosciamo, problema della fermata, non è suo: entra in uso più tardi, con il matematico Martin Davis. Con il teorema di Gödel il legame è diretto, ma le due dimostrazioni non si sostituiscono l'una all'altra.
Nel 1950, nell'articolo in cui si chiede se le macchine possano pensare, Turing elenca le obiezioni e ne chiama una “obiezione matematica”: il teorema di Gödel mostrerebbe che le macchine hanno limiti che la mente umana non ha. Risponde che dei limiti della mente nessuno ha mai dato una prova, e che “potrebbero esserci uomini più intelligenti di una data macchina, ma potrebbero esserci altre macchine più intelligenti ancora, e così via”.
Nel 1951 Gödel, che dal 1940 vive a Princeton, tiene una conferenza e dice la sua. È una frase con un “oppure” in mezzo: “O la matematica è incompletabile, nel senso che i suoi assiomi evidenti non possono mai essere racchiusi in una regola finita — cioè la mente umana, anche nel solo campo della matematica pura, supera infinitamente le capacità di qualsiasi macchina finita — oppure esistono problemi diofantei assolutamente insolubili del tipo specificato (dove non è escluso il caso che siano veri entrambi i termini della disgiunzione, sicché, a rigore, le alternative sono tre)”. I problemi diofantei sono equazioni a numeri interi. Gödel non dice quale valga.
Nel 1961 il filosofo J.R. Lucas pubblica Minds, Machines and Gödel: noi vediamo che la frase di Gödel è vera, una macchina non può, quindi non siamo macchine. Nel 1989 e nel 1994 il fisico Roger Penrose riprende l'argomento in due libri. Altri studiosi — Benacerraf, Putnam, Feferman, Franzén — obiettano: per applicare il teorema a una mente bisogna prima sapere che quella mente è coerente, e nessuno può dimostrarlo; meno di tutti la mente stessa, per il secondo teorema.
In una nota scritta nel 1972, e uscita solo dopo la sua morte, Gödel parla di un “errore filosofico” nell'argomento di Turing: aver trattato la mente come qualcosa di fermo, mentre “la mente, nel suo uso, non è statica, ma in continuo sviluppo”. Anche qui non conclude.
Gödel muore a Princeton il 14 gennaio 1978. Aveva passeggiato per anni con Einstein, e aveva lasciato il suo “oppure” com'era.
Cosa resta
Letto oggi, il teorema di Gödel non parla di macchine. Parla di una frase che dice una cosa vera su di sé e non può dimostrarla, e di sistemi che non possono certificarsi dall'interno. Nel secolo successivo la frase è diventata l'argomento principale per decidere se una macchina possa pensare, in un senso e nell'altro, e l'autore ha lasciato la questione aperta per ventisette anni. A Königsberg, in due giorni consecutivi, si sono sentite le due frasi: qualcosa non si può dimostrare; sapremo.
Hilbert disse “sapremo” il giorno dopo la dimostrazione che qualcosa non si può sapere. Quando una macchina ci dirà di sé una cosa che non può dimostrare, sceglieremo il giorno di Hilbert o quello di Gödel?
Anacronismi continua.